বিপরীত ত্রিকোণমিতির সূত্র

1. বেসিক সূত্র (Basic Definitions)

যদি

\begin{aligned} y & = \sin^{- 1} x \\ y & = \cos^{- 1} x \\ y & = \tan^{- 1} x \end{aligned}

হয়, তাহলে,

y = \sin^{- 1} x \Rightarrow \sin y = x

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⚠️ যেখানে, $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$
:::

y = \cos^{- 1} x \Leftrightarrow \cos y = x

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⚠️ যেখানে, $0 \leq y \leq π$
:::

y = \tan^{- 1} x \Leftrightarrow \tan y = x

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⚠️ যেখানে, $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$
:::

y = \cot^{- 1} x \Leftrightarrow \cot y = x

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⚠️ যেখানে, $0 < y < π$
:::

y = \sec^{- 1} x \Leftrightarrow \sec y = x

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⚠️ যেখানে, $0 \leq y \leq π, y \neq \frac{π}{2}$
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y = \csc^{- 1} x \Leftrightarrow \csc y = x

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⚠️ যেখানে, $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, y \neq 0$
:::

\sin^{- 1} x + \cos^{- 1} x = \frac{π}{2}

\tan^{- 1} x + \cot^{- 1} x = \frac{π}{2}

\sec^{- 1} x + \csc^{- 1} x = \frac{π}{2}

\sin^{- 1} (- x) = - \sin^{- 1} x

\tan^{- 1} (- x) = - \tan^{- 1} x

\cos^{- 1} (- x) = π - \cos^{- 1} x

\cot^{- 1} (- x) = π - \cot^{- 1} x

$x, y$ বাস্তব সংখ্যা হলে,

\tan^{- 1} x + \tan^{- 1} y = {\begin{cases} \tan^{- 1} (\frac{x + y}{1 - x y}), & x y < 1 \\ \tan^{- 1} (\frac{x + y}{1 - x y}) + π, & x > 0, y > 0, x y > 1 \\ \tan^{- 1} (\frac{x + y}{1 - x y}) - π, & x < 0, y < 0, x y > 1 \end{cases}

\tan^{- 1} x - \tan^{- 1} y = \tan^{- 1} (\frac{x - y}{1 + x y}); (x y > - 1)

Special cases:

\tan^{- 1} 1 = \frac{π}{4}, \tan^{- 1} \infty = \frac{π}{2}

\sin^{- 1} x = \tan^{- 1} (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}})

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⚠️ যেখানে, $- 1 < x < 1$
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\cos^{- 1} x = \tan^{- 1} (\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x})

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⚠️ যেখানে, $- 1 < x < 1, x \neq 0$
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\begin{aligned} \tan^{- 1} x & = \sin^{- 1} (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}) \\ = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}) \end{aligned}

\tan^{- 1} x + \tan^{- 1} y = \tan^{- 1} (\frac{x + y}{1 - x y})

2 \tan^{- 1} x = \tan^{- 1} (\frac{2 x}{1 - x^{2}}), | x | < 1

3 \tan^{- 1} x = \tan^{- 1} (\frac{3 x - x^{3}}{1 - 3 x^{2}})